Алгоритм Краскала

Дерево, Алгоритм, Tree

Алгоритм Краскала - это алгоритм минимального остовного дерева, что принимает граф в качестве входных данных и находит подмножество ребер этого графа, который формирует дерево, включающее в себя каждую вершину, а также имеет минимальную сумму весов среди всех деревьев, которые могут быть сформированы из графа.

Как работает алгоритм Краскала

Он подпадает под класс алгоритмов, называемых «жадными» алгоритмами , которые находят локальный оптимум в надежде найти глобальный оптимум.

Мы начинаем с ребер с наименьшим весом и продолжаем добавлять ребра, пока не достигнем нашей цели.

Шаги для реализации алгоритма Краскала следующие:

1. Сортировать все ребра от малого веса до высокого.
2. Возьмите ребро с наименьшим весом и добавьте его в остовное дерево. Если добавление ребра создало цикл, то отклоните это ребро.
3. Продолжайте добавлять ребра, пока не достигнете всех вершин.

Пример алгоритма Краскала

Алгоритм Краскала. Псевдокод.

Любой минимальный алгоритм остовного дерева вращается вокруг проверки, создает ли ребро цикл или нет.

Наиболее распространенный способ выяснить это - алгоритм Union FInd . Алгоритм Union-Find разделяет вершины на кластеры и позволяет нам проверить, принадлежат ли две вершины одному кластеру или нет, и, следовательно, решить создает ли добавление ребра цикл.

KRUSKAL(G):
A = ∅
For each vertex v ∈ G.V:
    MAKE-SET(v)
For each edge (u, v) ∈ G.E ordered by increasing order by weight(u, v):
    if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v):       
    A = A ∪ {(u, v)}
    UNION(u, v)
return A

Реализация алгоритма Краскала в C ++

Ниже приведен код для реализации в C ++. Мы используем стандартные библиотеки шаблонов, чтобы сделать нашу работу проще и чище.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define edge pair<int,int>

class Graph {
private:
    vector<pair<int, edge>> G; // graph
    vector<pair<int, edge>> T; // mst
    int *parent;
    int V; // number of vertices/nodes in graph
public:
    Graph(int V);
    void AddWeightedEdge(int u, int v, int w);
    int find_set(int i);
    void union_set(int u, int v);
    void kruskal();
    void print();
};
Graph::Graph(int V) {
    parent = new int[V];

    //i 0 1 2 3 4 5
    //parent[i] 0 1 2 3 4 5
    for (int i = 0; i < V; i++)
        parent[i] = i;

    G.clear();
    T.clear();
}
void Graph::AddWeightedEdge(int u, int v, int w) {
    G.push_back(make_pair(w, edge(u, v)));
}
int Graph::find_set(int i) {
    // If i is the parent of itself
    if (i == parent[i])
        return i;
    else
        // Else if i is not the parent of itself
        // Then i is not the representative of his set,
        // so we recursively call Find on its parent
        return find_set(parent[i]);
}

void Graph::union_set(int u, int v) {
    parent[u] = parent[v];
}
void Graph::kruskal() {
    int i, uRep, vRep;
    sort(G.begin(), G.end()); // increasing weight
    for (i = 0; i < G.size(); i++) {
        uRep = find_set(G[i].second.first);
        vRep = find_set(G[i].second.second);
        if (uRep != vRep) {
            T.push_back(G[i]); // add to tree
            union_set(uRep, vRep);
        }
    }
}
void Graph::print() {
    cout << "Edge :" << " Weight" << endl;
    for (int i = 0; i < T.size(); i++) {
        cout << T[i].second.first << " - " << T[i].second.second << " : "
                << T[i].first;
        cout << endl;
    }
}
int main() {
    Graph g(6);
    g.AddWeightedEdge(0, 1, 4);
    g.AddWeightedEdge(0, 2, 4);
    g.AddWeightedEdge(1, 2, 2);
    g.AddWeightedEdge(1, 0, 4);
    g.AddWeightedEdge(2, 0, 4);
    g.AddWeightedEdge(2, 1, 2);
    g.AddWeightedEdge(2, 3, 3);
    g.AddWeightedEdge(2, 5, 2);
    g.AddWeightedEdge(2, 4, 4);
    g.AddWeightedEdge(3, 2, 3);
    g.AddWeightedEdge(3, 4, 3);
    g.AddWeightedEdge(4, 2, 4);
    g.AddWeightedEdge(4, 3, 3);
    g.AddWeightedEdge(5, 2, 2);
    g.AddWeightedEdge(5, 4, 3);
    g.kruskal();
    g.print();
    return 0;
}

Когда мы запускаем программу, мы получаем вывод как:

Edge : Weight
1 - 2 : 2
2 - 5 : 2
2 - 3 : 3
3 - 4 : 3
0 - 1 : 4

Алгоритм Краскала vs Прима

Алгоритм Прима является еще одним популярным алгоритмом минимального остовного дерева, который использует другую логику для нахождения MST графа. Вместо того, чтобы начинать с ребра, алгоритм Прима начинается с вершины и продолжает добавлять ребра с наименьшим весом, которых нет в дереве, пока все вершины не будут покрыты.