Алгоритм Краскала

Дерево, Алгоритм, Tree

Алгоритм Краскала - это алгоритм минимального остовного дерева, что принимает граф в качестве входных данных и находит подмножество ребер этого графа, который формирует дерево, включающее в себя каждую вершину, а также имеет минимальную сумму весов среди всех деревьев, которые могут быть сформированы из графа.

Как работает алгоритм Краскала

Он подпадает под класс алгоритмов, называемых «жадными» алгоритмами , которые находят локальный оптимум в надежде найти глобальный оптимум.

Мы начинаем с ребер с наименьшим весом и продолжаем добавлять ребра, пока не достигнем нашей цели.

Шаги для реализации алгоритма Краскала следующие:

  1. Сортировать все ребра от малого веса до высокого.
  2. Возьмите ребро с наименьшим весом и добавьте его в остовное дерево. Если добавление ребра создало цикл, то отклоните это ребро.
  3. Продолжайте добавлять ребра, пока не достигнете всех вершин.

Пример алгоритма Краскала

Алгоритм Краскала. Псевдокод.

Любой минимальный алгоритм остовного дерева вращается вокруг проверки, создает ли ребро цикл или нет.

Наиболее распространенный способ выяснить это - алгоритм Union FInd . Алгоритм Union-Find разделяет вершины на кластеры и позволяет нам проверить, принадлежат ли две вершины одному кластеру или нет, и, следовательно, решить создает ли добавление ребра цикл.

KRUSKAL(G):
A = ∅
For each vertex v ∈ G.V:
    MAKE-SET(v)
For each edge (u, v) ∈ G.E ordered by increasing order by weight(u, v):
    if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v):       
    A = A ∪ {(u, v)}
    UNION(u, v)
return A

Реализация алгоритма Краскала в C ++

Ниже приведен код для реализации в C ++. Мы используем стандартные библиотеки шаблонов, чтобы сделать нашу работу проще и чище.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define edge pair<int,int>

class Graph {
private:
    vector<pair<int, edge>> G; // graph
    vector<pair<int, edge>> T; // mst
    int *parent;
    int V; // number of vertices/nodes in graph
public:
    Graph(int V);
    void AddWeightedEdge(int u, int v, int w);
    int find_set(int i);
    void union_set(int u, int v);
    void kruskal();
    void print();
};
Graph::Graph(int V) {
    parent = new int[V];

    //i 0 1 2 3 4 5
    //parent[i] 0 1 2 3 4 5
    for (int i = 0; i < V; i++)
        parent[i] = i;

    G.clear();
    T.clear();
}
void Graph::AddWeightedEdge(int u, int v, int w) {
    G.push_back(make_pair(w, edge(u, v)));
}
int Graph::find_set(int i) {
    // If i is the parent of itself
    if (i == parent[i])
        return i;
    else
        // Else if i is not the parent of itself
        // Then i is not the representative of his set,
        // so we recursively call Find on its parent
        return find_set(parent[i]);
}

void Graph::union_set(int u, int v) {
    parent[u] = parent[v];
}
void Graph::kruskal() {
    int i, uRep, vRep;
    sort(G.begin(), G.end()); // increasing weight
    for (i = 0; i < G.size(); i++) {
        uRep = find_set(G[i].second.first);
        vRep = find_set(G[i].second.second);
        if (uRep != vRep) {
            T.push_back(G[i]); // add to tree
            union_set(uRep, vRep);
        }
    }
}
void Graph::print() {
    cout << "Edge :" << " Weight" << endl;
    for (int i = 0; i < T.size(); i++) {
        cout << T[i].second.first << " - " << T[i].second.second << " : "
                << T[i].first;
        cout << endl;
    }
}
int main() {
    Graph g(6);
    g.AddWeightedEdge(0, 1, 4);
    g.AddWeightedEdge(0, 2, 4);
    g.AddWeightedEdge(1, 2, 2);
    g.AddWeightedEdge(1, 0, 4);
    g.AddWeightedEdge(2, 0, 4);
    g.AddWeightedEdge(2, 1, 2);
    g.AddWeightedEdge(2, 3, 3);
    g.AddWeightedEdge(2, 5, 2);
    g.AddWeightedEdge(2, 4, 4);
    g.AddWeightedEdge(3, 2, 3);
    g.AddWeightedEdge(3, 4, 3);
    g.AddWeightedEdge(4, 2, 4);
    g.AddWeightedEdge(4, 3, 3);
    g.AddWeightedEdge(5, 2, 2);
    g.AddWeightedEdge(5, 4, 3);
    g.kruskal();
    g.print();
    return 0;
}

Когда мы запускаем программу, мы получаем вывод как:

Edge : Weight
1 - 2 : 2
2 - 5 : 2
2 - 3 : 3
3 - 4 : 3
0 - 1 : 4

Алгоритм Краскала vs Прима

Алгоритм Прима является еще одним популярным алгоритмом минимального остовного дерева, который использует другую логику для нахождения MST графа. Вместо того, чтобы начинать с ребра, алгоритм Прима начинается с вершины и продолжает добавлять ребра с наименьшим весом, которых нет в дереве, пока все вершины не будут покрыты.

Рекомендуем хостинг TIMEWEB
Рекомендуем хостинг TIMEWEB
Стабильный хостинг, на котором располагается социальная сеть EVILEG. Для проектов на Django рекомендуем VDS хостинг.
Поддержать автора Donate

Я так понимаю, это перевод статьи?

Вот такие фразы выглядят стремно: "Любой минимальный алгоритм остовного дерева"
"популярным алгоритмом минимального остовного дерева"
Возможно, должно быть "алгоритмом построения ..."

Первое предложение тоже несогласованное.

Странной кажется идея запихивания графа в класс. Да и все равно можно выстрелить в ногу, вызвав print до вызова kruskal.

Не очевидна связь приведенного кода с описанным алгоритмом. - Что это за массив parent и почему (кстати) он не уничтожается в деструкторе?

Псевдокод не понятный. Что делает функция UNION(u, v) ?
Обе строки 7 и 8 вложены внутрь блока if?

У нормальной реализации алгоритма сложность N*log(N). А у вас для каждого узла графа вызывается функция find_set, которая имеет трудоемкость O(N). И того - O(N^2). Функция find_set при этом вообще особо кривая. Не понятно что она должна вернуть в каком случае.

Ну и еще, вот эта структура выглядит очень плохо:
vector > G;
Ну потому что edge - это тоже pair и в результате, во всех этих second.first и second.second хрен разберешься. Отрефакторить можно, например, введением нормальной структуры для дуги (вместо пары). При этом, в эту же дугу стоит засунуть длину. Легко ли въехать где тут номер дуги, а где - ее длина?

Комментарии

Только авторизованные пользователи могут публиковать комментарии.
Пожалуйста, авторизуйтесь или зарегистрируйтесь
Donate

Здравствуйте, уважаемые пользователи EVILEG !!!

Если сайт вам помог, то поддержите разработку сайта финансово, пожалуйста.

Вы можете сделать это следующими способами:

Спасибо, Евгений Легоцкой

О
18 ноября 2019 г. 15:54
Оксана

C++ - Тест 005. Структуры и Классы

  • Результат:66баллов,
  • Очки рейтинга-1
АГ
18 ноября 2019 г. 15:50
Антон Гурьев

C++ - Тест 001. Первая программа и типы данных

  • Результат:46баллов,
  • Очки рейтинга-6
VZ
17 ноября 2019 г. 2:25
Vladimir Zhitkovsky

Qt - Тест 001. Сигналы и слоты

  • Результат:78баллов,
  • Очки рейтинга2
Последние комментарии
c
18 ноября 2019 г. 6:27
cyberaxe77

Моих знаний пока явно недостаточно, чтобы писать статьи. Так...небольшие заметки "на полях"))).
18 ноября 2019 г. 6:10
Евгений Легоцкой

Пока что на сайте нет активных пользователей PyQt5, кто бы мог писать статьи по PyQt5, к сожалению. Лично я только для статей пользуюсь этой библиотекой. Но можете стать одним из первых ;) Любой…
18 ноября 2019 г. 2:44
Евгений Легоцкой

Добрый день. На тот момент ничего не использовал дополнительно и никаких специальных настроек не делал. Просто собрал и получилось 10 мб.
c
17 ноября 2019 г. 14:25
cyberaxe77

Шикарно! Как обычно всё объясняется чётко, ясно и, по-возможности, кратко. Побольше бы контента по PyQt5...
ГВ
16 ноября 2019 г. 16:16
Гибралтар Вольфрамов

Разрешите узнать, как вы получили qt+qml приложение размером в 10мб(даже релизных). Дело в том, что пустое приложение, хоть и со стек вью, обходится мне на все 40мб пространства. Или же вы воспо…
Сейчас обсуждают на форуме
B
19 ноября 2019 г. 4:57
Botan

у меня эта книга то же есть про потоки там мизер совершенно, примеры сегодня накидаю вечером, попробуйте в вашем примере в конструкторе потока принять ссылку на label, и в потоке все Print отпра…
MP
19 ноября 2019 г. 4:13
Mikhail Petrov

Без разницы в дизайнере создается форма или не в дизайнере. Как вы добавляете в QTabWidget?
19 ноября 2019 г. 2:36
BlinCT

Всем привет. Если кто дебажил qml часть подскажиет пожалуйста, какие настрйоки требуются в Qt Creator? Я собирал 5.12.5 из исходников, в Настройкс в debugger у меня выставлен путь к со…
18 ноября 2019 г. 13:36
Intruder

Понятно. Я кстати так сейчас и сделал, добавил проект в проект и т.д. Спасибо!
EVILEG
О нас
Услуги
© EVILEG 2015-2019
Рекомендует хостинг TIMEWEB