Алгоритм Прима

Дерево, Алгоритм, Tree

Алгоритм Прима - это алгоритм минимального остовного дерева, что принимает граф в качестве входных данных и находит подмножество ребер этого графа, который формирует дерево, включающее в себя каждую вершину, а также имеет минимальную сумму весов среди всех деревьев, которые могут быть сформированы из графа.

Как работает алгоритм Прима

Он подпадает под класс алгоритмов, называемых «жадными» алгоритмами , которые находят локальный оптимум в надежде найти глобальный оптимум.

Мы начинаем с одной вершины и продолжаем добавлять ребра с наименьшим весом, пока не достигнем нашей цели.

Шаги для реализации алгоритма Прима следующие:

1. Инициализируйте минимальное остовное дерево с произвольно выбранной вершиной.
2. Найдите все ребра, которые соединяют дерево с новыми вершинами, найдите минимум и добавьте его в дерево.
3. Продолжайте повторять шаг 2, пока не получите минимальное остовное дерево.

Пример алгоритма Прима

Алгоритм Прима. Псевдокод.

Псевдокод для алгоритма Прима показывает, как мы создаем два набора вершин U и V-U. U содержит список вершин, которые были посещены, а V-U – список вершин, которые не были посещены. Один за другим мы перемещаем вершины из набора V-U в набор U, соединяя ребро с наименьшим весом.

Реализация алгоритма Прима в C ++

Программа ниже реализует алгоритм Прима в C ++. Несмотря на то, что используется матрица смежности для представления графа, этот алгоритм также может быть реализован с использованием списка смежности для повышения его эффективности.

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
 
#define INF 9999999
 
// number of vertices in grapj
#define V 5
 
// create a 2d array of size 5x5
//for adjacency matrix to represent graph
 
int G[V][V] = {
  {0, 9, 75, 0, 0},
  {9, 0, 95, 19, 42},
  {75, 95, 0, 51, 66},
  {0, 19, 51, 0, 31},
  {0, 42, 66, 31, 0}
};
 
int main () {
 
  int no_edge;            // number of edge
 
  // create a array to track selected vertex
  // selected will become true otherwise false
  int selected[V];
 
 // set selected false initially
  memset (selected, false, sizeof (selected));
 
 // set number of edge to 0
  no_edge = 0;
 
  // the number of egde in minimum spanning tree will be
  // always less than (V -1), where V is number of vertices in
  //graph
 
  // choose 0th vertex and make it true
  selected[0] = true;
 
  int x;            //  row number
  int y;            //  col number
 
  // print for edge and weight
  cout << "Edge" << " : " << "Weight";
  cout << endl;
  while (no_edge < V - 1) {
 
  //For every vertex in the set S, find the all adjacent vertices
  // , calculate the distance from the vertex selected at step 1.
  // if the vertex is already in the set S, discard it otherwise
  //choose another vertex nearest to selected vertex  at step 1.
 
      int min = INF;
      x = 0;
      y = 0;
 
      for (int i = 0; i < V; i++) {
        if (selected[i]) {
            for (int j = 0; j < V; j++) {
              if (!selected[j] && G[i][j]) { // not in selected and there is an edge
                  if (min > G[i][j]) {
                      min = G[i][j];
                      x = i;
                      y = j;
                  }
 
              }
          }
        }
      }
      cout << x <<  " - " << y << " :  " << G[x][y];
      cout << endl;
      selected[y] = true;
      no_edge++;
    }
 
  return 0;
}

Запустив приведенный выше код, мы получим вывод в виде:

Edge : Weight
0 - 1 :  9
1 - 3 :  19
3 - 4 :  31
3 - 2 :  51

Алгоритм Прима vs Краскала

Алгоритм Краскала является еще одним популярным алгоритмом минимального оставного дерева, который использует другую логику для нахождения MST графа. Вместо того, чтобы начинать с вершины, алгоритм Краскала сортирует все ребра от малого веса к большему и продолжает добавлять самые нижние ребра, игнорируя те ребра, которые создают цикл.