Qt Android. Компиляция бинарного исполняемого фала простого консольного приложения

Из системной консоли чего? PC или Android устройства (ну мало ли, не ясно что вы имели ввиду)?

Вообще, если хотите иметь бинарник, типо *.exe или исполняемый бинарник под Linux. То нет, не можете для этого использовать комплект для Android . Для этого нужно использовать соответствующие комплекты (MSVC, GCC и т.д.)

Из системной консоли android. Чтобы я изнутри андроида мог через консоль запустить программу. Для примера, я из консоли могу запустить программу ping, которая, как раз является таким исполняемым бинарником.
По скольку, используя напрямую компилятор NDK, я могу собрать проект в качестве исполняемого файла, который можно просто запустить из консоли андроида, и комплект android для Qt в основе использует NDK, я подумал, что возможно проект настроить как-то так, чтобы на выходе была самостоятельная программа, а не установочный пакет.
Если же я могу менять через gradle тип собираемого проекта (apk, aar), то, возможно можно как-то указать чтобы на выходе был so-файл или ещё какой-нибудь вариант.

Это маловероятно. Сама по себе архитектура Android требует, чтобы приложения являлись GUI приложениями.
А ping программа является настолько базовой, что было бы странно, если бы её там не было и в принципе логично, что она там является консольной.

Но если честно, я не совсем верю, что системная консоль, о которой вы говорите, это именно классическая консоль, как в Linux. Это точно не приложение, которое скачано из Google Play, и которое эмулирует терминал?
Ну либо у вас какая-то кастомная прошивка на разлоченном девайсе.

Во всяком случае я не встречал ни единого упоминания о том, чтобы с использованием Qt нечто подобное делали.

Ну, написать как-раз таки косольную программу посредством NDK и STL проблем не составляет. Уже много было реализовано подобных проектов у меня.
А тут вопрос заключается в использовании Qt для этих целей.
Что касается консоли на андроиде, то она, конечно есть, как и в любой unix-подобной системе. Это низкий уровень ОС, до любого GUI. А то что устанавливается из Google Play - это просто приложение которое может дать доступ к данной консоли, но не создаёт её.
Местами, может не точно выразился, но суть передана верно.
Для примера:
Предположим, что уже есть компилятор от NDK под конкретную архитектуру. Также, есть исходный код:

#include <stdio.h>
 
int main ()
{
  puts("hello world");
}

Его можно скомпилировать оговоренным выше компилятором такой командой:

~/arm/bin/clang -pie hello_world.c -o hello_world

На выходе будет обычная программа hello_world, подобная тому же ping, которая выведет в консоль "hello world".