Kruskals Algorithmus

Дерево, Алгоритм, Tree

Kruskals Algorithmus ist ein Minimum-Spanning-Tree-Algorithmus, der einen Graphen als Eingabe nimmt und eine Teilmenge der Kanten dieses Graphen findet, die einen Baum bildet, der jeden Scheitelpunkt enthält und auch die minimale Summe von Gewichten unter allen Bäumen hat, aus denen gebildet werden kann ein Graph.

Wie der Kruskal-Algorithmus funktioniert

Es fällt unter eine Klasse von Algorithmen, die als "gierige" Algorithmen* bezeichnet werden und ein lokales Optimum in der Hoffnung finden, ein globales Optimum zu finden.

Wir beginnen mit den Kanten mit dem geringsten Gewicht und fügen Kanten hinzu, bis wir unser Ziel erreicht haben.

Die Schritte zur Implementierung des Kruskal-Algorithmus sind wie folgt:

1. Sortieren Sie alle Kanten von geringem bis hohem Gewicht.
2. Nimm die Kante mit dem kleinsten Gewicht und füge sie dem Spannbaum hinzu. Wenn das Hinzufügen einer Kante einen Zyklus erzeugt hat, lehnen Sie diese Kante ab.
3. Fügen Sie weitere Kanten hinzu, bis Sie alle Scheitelpunkte erreicht haben.

Beispiel für den Kruskal-Algorithmus

Kruskals Algorithmus. Pseudocode.

Jeder Minimum-Spanning-Tree-Algorithmus dreht sich darum, zu prüfen, ob eine Kante einen Zyklus erzeugt oder nicht.

Der gebräuchlichste Weg, dies herauszufinden, ist der Union FInd-Algorithmus . Der Union-Find-Algorithmus unterteilt die Scheitelpunkte in Cluster und ermöglicht es uns zu prüfen, ob zwei Scheitelpunkte zum selben Cluster gehören oder nicht, und somit zu entscheiden, ob das Hinzufügen einer Kante einen Zyklus erzeugt.

KRUSKAL(G):
A = ∅
For each vertex v ∈ G.V:
    MAKE-SET(v)
For each edge (u, v) ∈ G.E ordered by increasing order by weight(u, v):
    if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v):       
    A = A ∪ {(u, v)}
    UNION(u, v)
return A

Implementierung des Kruskal-Algorithmus in C++

Es folgt der Code für die Implementierung in C++. Wir verwenden Standard-Vorlagenbibliotheken, um unsere Arbeit einfacher und sauberer zu machen.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define edge pair<int,int>

class Graph {
private:
    vector<pair<int, edge>> G; // graph
    vector<pair<int, edge>> T; // mst
    int *parent;
    int V; // number of vertices/nodes in graph
public:
    Graph(int V);
    void AddWeightedEdge(int u, int v, int w);
    int find_set(int i);
    void union_set(int u, int v);
    void kruskal();
    void print();
};
Graph::Graph(int V) {
    parent = new int[V];

    //i 0 1 2 3 4 5
    //parent[i] 0 1 2 3 4 5
    for (int i = 0; i < V; i++)
        parent[i] = i;

    G.clear();
    T.clear();
}
void Graph::AddWeightedEdge(int u, int v, int w) {
    G.push_back(make_pair(w, edge(u, v)));
}
int Graph::find_set(int i) {
    // If i is the parent of itself
    if (i == parent[i])
        return i;
    else
        // Else if i is not the parent of itself
        // Then i is not the representative of his set,
        // so we recursively call Find on its parent
        return find_set(parent[i]);
}

void Graph::union_set(int u, int v) {
    parent[u] = parent[v];
}
void Graph::kruskal() {
    int i, uRep, vRep;
    sort(G.begin(), G.end()); // increasing weight
    for (i = 0; i < G.size(); i++) {
        uRep = find_set(G[i].second.first);
        vRep = find_set(G[i].second.second);
        if (uRep != vRep) {
            T.push_back(G[i]); // add to tree
            union_set(uRep, vRep);
        }
    }
}
void Graph::print() {
    cout << "Edge :" << " Weight" << endl;
    for (int i = 0; i < T.size(); i++) {
        cout << T[i].second.first << " - " << T[i].second.second << " : "
                << T[i].first;
        cout << endl;
    }
}
int main() {
    Graph g(6);
    g.AddWeightedEdge(0, 1, 4);
    g.AddWeightedEdge(0, 2, 4);
    g.AddWeightedEdge(1, 2, 2);
    g.AddWeightedEdge(1, 0, 4);
    g.AddWeightedEdge(2, 0, 4);
    g.AddWeightedEdge(2, 1, 2);
    g.AddWeightedEdge(2, 3, 3);
    g.AddWeightedEdge(2, 5, 2);
    g.AddWeightedEdge(2, 4, 4);
    g.AddWeightedEdge(3, 2, 3);
    g.AddWeightedEdge(3, 4, 3);
    g.AddWeightedEdge(4, 2, 4);
    g.AddWeightedEdge(4, 3, 3);
    g.AddWeightedEdge(5, 2, 2);
    g.AddWeightedEdge(5, 4, 3);
    g.kruskal();
    g.print();
    return 0;
}

Wenn wir das Programm ausführen, erhalten wir eine Ausgabe wie:

Edge : Weight
1 - 2 : 2
2 - 5 : 2
2 - 3 : 3
3 - 4 : 3
0 - 1 : 4

Kruskals Algorithmus vs. Prima

Der Algorithmus von Prim ist ein weiterer beliebter Minimum-Spanning-Tree-Algorithmus, der eine andere Logik verwendet, um den MST-Graphen zu finden. Anstatt an einer Kante zu beginnen, beginnt der Algorithmus von Prim an einem Scheitelpunkt und fügt die am wenigsten gewichteten Kanten hinzu, die sich nicht im Baum befinden, bis alle Scheitelpunkte abgedeckt sind.